100 adet 24 basamaklı rasgele seçilmiş bir dizi sayı var. Bu sayı dizisi içinde seçilmiş rastgele 50 sayının toplamı biliniyor fakat bu sayıların ne olduğu bilinmiyor. Bu problem standart tekekirdekli bilgisayar ne kadar sürede kesin çözer?. Bu bir NP problemi mi?
Grok
Bu sorunu adım adım ele alalım ve hem problemi anlamaya çalışalım hem de çözüm süresini ve doğasını değerlendirelim.
### Problemin Tanımı
- Elimizde 100 adet 24 basamaklı rastgele seçilmiş sayı var. Yani her sayı, 10²³ ile 10²⁴ - 1 arasında bir değere sahip olabilir (24 basamaklı bir sayının büyüklüğü bu aralıktadır).
- Bu 100 sayıdan rastgele seçilmiş 50 tanesinin toplamı biliniyor, ama hangi 50 sayının seçildiği bilinmiyor.
- Soru şu: Standart bir tek çekirdekli bilgisayar, bu 50 sayıyı kesin olarak bulmak için problemi ne kadar sürede çözer? Ayrıca, bu bir NP problemi mi?
### Problemin Matematiksel Yapısı
Bu problem, bir kümeden belirli bir alt kümenin toplamını bulma görevine benziyor. Daha spesifik olarak:
- 100 elemanlı bir kümeden (diyelim \( S = \{s_1, s_2, ..., s_{100}\} \)) 50 elemanlı bir alt küme seçiyoruz.
- Bu alt kümenin toplamı \( T \) olarak verilmiş.
- Amaç, \( S \) içindeki hangi 50 sayının toplamının \( T \)’ye eşit olduğunu bulmak.
Bu, **"Subset Sum Problem"** (Alt Küme Toplam Problemi) olarak bilinen klasik bir probleme çok benziyor. Subset Sum problemi şöyledir: Bir kümeden, toplamı belirli bir değere (örneğin \( T \)) eşit olan bir alt küme bulabilir misiniz? Bu problem, hesaplama teorisinde iyi bilinen bir **NP-tam** (NP-complete) problemidir.
### NP Problemi mi?
Evet, bu problem bir NP problemidir. Daha doğrusu, Subset Sum problemine indirgenebildiği için **NP-tam** bir problemdir. Neden?
- **Doğrulama (Verification):** Eğer birileri size 50 sayılık bir alt küme verirse, bu sayıların toplamını hesaplayıp \( T \) ile karşılaştırmanız yeterlidir. Bu işlem polinom zamanda (örneğin \( O(n) \), burada \( n = 50 \)) yapılabilir. Yani problem **NP** sınıfındadır.
- **Zorluk (Hardness):** Subset Sum problemi, herhangi bir NP probleminin polinom zamanda ona indirgenebileceği kadar zor bir problemdir. Bu problem de Subset Sum’ın bir varyasyonu gibi görünüyor (100 sayıdan 50’sini seçmek zorundayız ve toplam biliniyor).
Dolayısıyla, evet, bu bir NP-tam problemdir.
### Çözüm Süresi: Brute Force Yaklaşımı
Standart bir tek çekirdekli bilgisayarın bu problemi kesin olarak çözmesi için en basit yöntem, tüm olası 50’li kombinasyonları denemektir (brute force):
- 100 sayıdan 50’sini seçmenin kombinasyon sayısı:
\( C(100, 50) = \frac{100!}{50! \cdot 50!} \)
- Bu sayı inanılmaz derecede büyüktür. Yaklaşık olarak:
\( C(100, 50) \approx 10^{29} \) (tam değer 100 milyar milyardan çok daha büyük bir sayıdır).
Her bir kombinasyon için:
- 50 tane 24 basamaklı sayıyı toplamak gerekir. 24 basamaklı sayılar yaklaşık 80 bit (veya 10 bayt) yer kaplar. Modern bir işlemci, böyle bir toplama işlemini yaklaşık 50 döngüde yapabilir.
- Diyelim ki bir toplama işlemi 1 nanosaniye (10⁻⁹ saniye) sürüyor. 50 sayı için 50 nanosaniye, yani 5 × 10⁻⁸ saniye.
Toplam süre:
\( C(100, 50) \cdot 5 \times 10^{-8} \approx 10^{29} \cdot 5 \times 10^{-8} = 5 \times 10^{21} \) saniye.
- 1 yıl ≈ \( 3.15 \times 10^7 \) saniye.
- \( 5 \times 10^{21} / 3.15 \times 10^7 \approx 1.6 \times 10^{14} \) yıl.
Bu, **160 trilyon yıl** anlamına gelir ki, evrenin yaşından (13.8 milyar yıl) çok daha uzun bir süredir.
### Daha Hızlı Çözüm Mümkün mü?
- **Dinamik Programlama:** Subset Sum problemi için dinamik programlama kullanılabilir, ancak bu çözüm "pseudo-polinom" zamandadır. Zaman karmaşıklığı \( O(n \cdot T) \)’dir, burada \( T \) hedef toplamdır. Ancak bizim durumumuzda \( T \), 50 tane 24 basamaklı sayının toplamı olabilir, yani \( T \approx 50 \cdot 10^{23} = 5 \times 10^{24} \). Bu da yine çok büyük bir sayı. Bellek gereksinimi de \( O(T) \) olduğundan, bu yöntem pratikte uygulanamaz (trilyonlarca terabayt bellek gerekir).
- **Yaklaşık Çözümler:** Eğer kesin çözüm değil de yaklaşık bir çözüm istenirse, bu süre kısaltılabilir. Ancak soru "kesin çözüm" istediği için bu geçerli değil.
### Standart Tek Çekirdekli Bilgisayar
"Standart tek çekirdekli bilgisayar" derken, örneğin 3 GHz’lik bir işlemciyi (saniyede 3 milyar işlem) varsayalım. Bu, saniyede \( 3 \times 10^9 \) kombinasyon denenebileceği anlamına gelir. Ancak \( 10^{29} \) kombinasyonu denemek yine de \( 10^{20} \) saniye (yaklaşık 3 trilyon yıl) sürer.
### Sonuç
- **Süre:** Standart bir tek çekirdekli bilgisayar, bu problemi brute force ile çözmek için yaklaşık **160 trilyon yıl** harcar. Daha optimize algoritmalar (örneğin dinamik programlama) bile \( T \)’nin büyüklüğü nedeniyle pratikte uygulanamaz.
- **NP mi?:** Evet, bu problem NP-tam bir problemdir.
Bu nedenle, pratikte bu tür bir problemi kesin olarak çözmek imkânsızdır; ancak teorik olarak çözülebilir olduğu için NP-tam sınıfına girer. Daha fazla bilgi verirseniz (örneğin sayıların belirli bir dağılımı varsa), çözüm yaklaşımını daraltabiliriz!
Deepseek
Bu problem, 100 adet 12 basamaklı sayı arasından bilinmeyen 50 tanesinin toplamının verilen bir değere eşit olup olmadığını araştıran bir altküme toplamı (subset sum problem) çeşididir.
Problem Türü ve Zorluk Derecesi
• NP-Tam (NP-Complete): Bu problem, NP-Tam (NP-Complete) sınıfına girer. Genel olarak, verilen bir sayılar kümesinden belirli bir toplamı elde edip edemeyeceğimizi belirlemek NP-Tam bir problemdir.
• Exponential Complexity: En kötü durumda, olası 50 elemanlı tüm alt kümeleri denemek gerekir. Bunun için:
\binom{100}{50} = \frac{100!}{50! \cdot 50!}
kadar olasılık kontrol edilmelidir ki bu da aşırı büyüktür.
Zaman Hesabı
• Brute Force (Kaba Kuvvet) Yöntemi: Tüm olasılıkları denemek için yaklaşık olarak:
\binom{100}{50} \approx 10^{29}
kombinasyon kontrol edilmelidir.
• Eğer her kontrol 10^{-9} saniyede (yani 1 nanosaniyede) yapılıyor olsa bile, toplam hesaplama süresi:
10^{20} \text{ saniye} \approx 10^{12} \text{ yıl}
yani evrenin yaşından bile büyük bir süre gerektirir.
Pratik Çözümler
1. Dinamik Programlama (DP): Eğer sayıların aralıkları ve büyüklükleri uygun şekilde düzenlenmişse, DP ile çözülebilir (örneğin, “Subset Sum Problem” için Pseudo-Polynomial çözümler mevcuttur). Ancak burada 12 basamaklı sayılar var, bu yüzden DP’nin uygulanması zor olabilir.
2. Gelişmiş Algoritmalar:
• Branch & Bound
• Meet-in-the-Middle (MITM)
• Yaklaşım Algoritmaları (Greedy, Heuristic, Genetic Algorithms)
3. Kuantum Bilgisayarlar: Shor ve Grover algoritmaları ile hızlandırılabilir ancak klasik sistemlerde kesin çözüm için pratikte imkânsız bir süre gerektirir.
Sonuç
• Klasik bilgisayarlarla deterministik yöntemlerle kesin çözüm pratikte mümkün değildir (NP-Tam zorluk nedeniyle).
• Yaklaşık algoritmalar veya kuantum bilgisayarlar ile çözüme ulaşmak daha mümkün olabilir.
• Eğer sayılar belirli bir aralıkta (örneğin, 12 basamaklı ama küçük varyasyonlu) olsaydı, DP veya diğer optimizasyon teknikleri işe yarayabilirdi.
OpenGPT
Bu problem, 100 adet 12 basamaklı sayı arasından bilinmeyen 50 tanesinin toplamının verilen bir değere eşit olup olmadığını araştıran bir altküme toplamı (subset sum problem) çeşididir.
Problem Türü ve Zorluk Derecesi
• NP-Tam (NP-Complete): Bu problem, NP-Tam (NP-Complete) sınıfına girer. Genel olarak, verilen bir sayılar kümesinden belirli bir toplamı elde edip edemeyeceğimizi belirlemek NP-Tam bir problemdir.
• Exponential Complexity: En kötü durumda, olası 50 elemanlı tüm alt kümeleri denemek gerekir. Bunun için:
\binom{100}{50} = \frac{100!}{50! \cdot 50!}
kadar olasılık kontrol edilmelidir ki bu da aşırı büyüktür.
Zaman Hesabı
• Brute Force (Kaba Kuvvet) Yöntemi: Tüm olasılıkları denemek için yaklaşık olarak:
\binom{100}{50} \approx 10^{29}
kombinasyon kontrol edilmelidir.
• Eğer her kontrol 10^{-9} saniyede (yani 1 nanosaniyede) yapılıyor olsa bile, toplam hesaplama süresi:
10^{20} \text{ saniye} \approx 10^{12} \text{ yıl}
yani evrenin yaşından bile büyük bir süre gerektirir.
Pratik Çözümler
1. Dinamik Programlama (DP): Eğer sayıların aralıkları ve büyüklükleri uygun şekilde düzenlenmişse, DP ile çözülebilir (örneğin, “Subset Sum Problem” için Pseudo-Polynomial çözümler mevcuttur). Ancak burada 12 basamaklı sayılar var, bu yüzden DP’nin uygulanması zor olabilir.
2. Gelişmiş Algoritmalar:
• Branch & Bound
• Meet-in-the-Middle (MITM)
• Yaklaşım Algoritmaları (Greedy, Heuristic, Genetic Algorithms)
3. Kuantum Bilgisayarlar: Shor ve Grover algoritmaları ile hızlandırılabilir ancak klasik sistemlerde kesin çözüm için pratikte imkânsız bir süre gerektirir.
Sonuç
• Klasik bilgisayarlarla deterministik yöntemlerle kesin çözüm pratikte mümkün değildir (NP-Tam zorluk nedeniyle).
• Yaklaşık algoritmalar veya kuantum bilgisayarlar ile çözüme ulaşmak daha mümkün olabilir.
• Eğer sayılar belirli bir aralıkta (örneğin, 12 basamaklı ama küçük varyasyonlu) olsaydı, DP veya diğer optimizasyon teknikleri işe yarayabilirdi.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder